Opções Consistentes De Preço De Fx

Preço consistente da transcrição de opções de FX 1 Preço consistente das opções de FX Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Milão Nos mercados atuais, as opções com diferentes greves ou vencimentos geralmente têm preços com diferentes volatilidades implícitas. Este fato estilizado, comumente referido como efeito de sorriso, pode ser acomodado recorrendo a modelos específicos, seja para preços de derivados exóticos ou para inferir volatilidades implícitas para ataques ou vencimentos não cotados. A primeira tarefa geralmente é alcançada através da introdução de dinâmicas alternativas para o preço do ativo subjacente, enquanto a última é abordada por meio de ajustes estáticos ou interpolações. Neste artigo, lidamos com esta última questão e analisamos uma possível solução em um mercado de opções de câmbio (FX). Em tal mercado, de fato, existem apenas três cotações ativas para cada maturidade do mercado (o straddle, a reversão de risco e a borboleta vega-ponderada), apresentando-se assim o problema de uma determinação consistente das demais volatilidades implícitas. Os corretores da FX e os fabricantes de mercado geralmente abordam essa questão usando um procedimento empírico, também chamado de Vanna-Volga (VV), para construir todo o sorriso para uma determinada maturidade. As cotações de volatilidade são fornecidas em termos da opção s, para intervalos entre as 5 e as 5 chamadas. No que se segue, analisaremos este procedimento de mercado para uma determinada moeda. Em particular, derivaremos fórmulas fechadas de modo a tornar sua construção mais explícita. Em seguida, testaremos a robustez (em sentido estático) do sorriso resultante, na medida em que a mudança consistente dos três pares iniciais de greve e volatilidade produz eventualmente a mesma curva de volatilidade implícita. Também mostraremos que o mesmo procedimento aplicado às reivindicações Europeanstyle é consistente com os resultados de replicação estática e consideramos, como exemplo, o caso prático de uma opção européia quanto. Vamos finalmente provar que o procedimento do mercado também pode ser justificado em termos dinâmicos, definindo uma estratégia de hedge que é replicação local e autofinanciamento. 2 Uma breve descrição do mercado de opções de FX No mercado de opções de FX, a matriz de volatilidade é construída de acordo com a regra de Delta pegajosa. O pressuposto subjacente é que as opções são tarifadas de acordo com o Delta, de modo que, quando o preço do elemento subjacente se move e o Delta de uma opção muda de acordo, uma volatilidade implícita diferente deve ser conectada à fórmula de preços. 1 2 O mercado de opções de FX é muito líquido, até expirações de prazo relativamente longo (2 anos, pelo menos para a taxa de câmbio EUR USD). A volatilidade no dinheiro (ATM) está prontamente disponível, e a reversão de risco (RR) para 25 chamadas e colocadas e a borboleta (vega-ponderada) com 25 asas também são comumente negociadas. 1 A partir desses dados, pode-se inferir facilmente três volatilidades implícitas básicas, das quais se pode construir todo o sorriso para o intervalo que vai de uma ligação de 5 a 5, de acordo com o método a seguir. Dizemos por S t o valor de uma taxa de câmbio dada no tempo t e assumimos taxas internas internas e isentas de risco constantes, que serão denotadas respectivamente por r d e r f. Consideramos então uma maturidade de mercado T e definimos as cotações relacionadas no seguinte. A volatilidade do caixa eletrônico citada no mercado FX é a de um estrondo, cuja greve, por cada vencimento, é escolhida de modo que uma colocação e uma chamada tenham o mesmo, mas com sinais diferentes (não é necessária uma cobertura durante a negociação deste straddle). Denotando por sigma AT M a volatilidade do ATM para a expiração T, o ataque ATM K AT M deve então satisfazer (ln S e rf TK Phi AT M (rdrf sigma2 AT M) T) (e rf T Phi ln SK AT M (rdrf Sigma2 AT M) T) sigma AT MT sigma AT MT onde Phi denota a função de distribuição normal padrão cumulativa. A álgebra direta leva a: K AT M S e (rd r f sigma2 AT M) T (1) O RR é uma estrutura típica em que se compra uma compra e vende uma colocação com uma simétrica. O RR é citado como a diferença entre as duas volatilidades implícitas, sigma 25 c e sigma 25 p para se conectar à fórmula Black e Scholes para a chamada e a colocação, respectivamente. Denotando esse preço, em termos de volatilidade, por sigma RR, temos: 2 sigma RR sigma 25 c sigma 25 p (2) O VWB é construído vendendo um ATM cheio e comprando um estrangulamento 25. Para ser ponderada por Vega, a quantidade do primeiro tem que ser menor do que a quantidade deste último, uma vez que o Vega do straddle é maior do que o Vega do estrangulamento. O preço da borboleta em termos de volatilidade, sigma VWB, é então definido por: sigma VWB sigma 25 c sigma 25 p 2 sigma AT M (3) Para a expiração T, as duas volatilidades implícitas sigma 25 c e sigma 25 p podem ser Imediatamente identificado pela resolução de um sistema linear. Nós obtemos: sigma 25 c sigma AT M sigma V W B sigma RR (4) 1 Nós deixamos cair o sinal após o nível do, de acordo com o jargão do mercado. Portanto, uma chamada 25 é um chamado cujo Delta é.25. Analogamente, um 25 é aquele cujo Delta é A sigma RR positivo significa que a chamada é favorecida por a sua volatilidade implícita ser maior do que a volatilidade implícita da colocação de um número negativo implica o oposto. 2 3 sigma 25 p sigma AT M sigma V W B 1 2 sigma RR (5) As duas batidas correspondentes ao 25 ​​put e 25 call podem ser derivadas, após álgebra direta, lembrando suas respectivas definições. Por exemplo, para um 25 colocar, devemos ter o que leva imediatamente a (e rf T Phi ln S 5 p (rdrf sigma2 25 p) T) .25 sigma 25 p T 5 p S e alphasigma 25 p T (rdrf sigma2 25 P) T (6) onde alpha: Phi 1 (1 4 erf T) e Phi 1 é a função de distribuição normal inversa. Da mesma forma, um também obtém: 5 c S e alphasigma 25 c T (rdrf sigma2 25 c) T (7) Ressaltamos que, para parâmetros de mercado típicos e para prazos até dois anos, alpha gt e 3 5 p lt K AT M Lt 5 c Na seção a seguir, explicaremos como usar as volatilidades implícitas básicas e as greves relacionadas, para inferir consistentemente todo o sorriso para a expiração de T. Para esse fim, trabalharemos com o mesmo tipo de opções ( Por exemplo, chamadas), considerando diretamente os preços de mercado (em vez de volatilidades). Para aliviar a notação e simplificar as futuras fórmulas, denotaremos as greves citadas (para a maturidade dada T) por K i, i 1, 2, 3, lt K 3, 4 e set K:. Os preços das opções relacionadas (mercado), respectivamente indicados por C MKT (), C MKT () e C MKT (K 3), assumem que satisfazem as condições padrão de não arbitragem. 3 O procedimento de mercado empírico do VV Considere uma opção de chamada européia com maturidade T e greve K, cujo preço Black e Scholes, no tempo t, é denotado por C BS (t K), (ln S t C BS (t K) S te Rf tau K Phi (rd rf 1) (2 sigma2) tau ln S t sigma Ke rdtau Phi K (rd rf 1) 2 sigma2) tau tau sigma tau (8) onde tau: T t e sigma é um determinado parâmetro de volatilidade . Sabe-se que sob o modelo Black-Scholes (1973) (BS), o retorno da chamada pode ser replicado por uma estratégia de cobertura dinâmica, cujo valor inicial (abrangente da parte da conta bancária) corresponde ao preço da opção (8). No mercado financeiro real, no entanto, a volatilidade 3 Para vencimentos longos, é uma prática de mercado considerar a taxa de câmbio a termo como a greve ATM. 4 e K 3 substituem respectivamente 5 p, K AT M e 5 c. 3 4 é estocástico e os comerciantes cercam o risco associado construindo carteiras neutras de Vega. Dada a natureza específica do mercado de opções FX, as carteiras também podem ser construídas de modo a combinar derivadas parciais até a segunda ordem, de modo que, pelo lema de Ito, temos uma cobertura perfeita em um intervalo de tempo infinitesimal, veja também a Seção 9 abaixo. O procedimento empírico baseia-se na obtenção de tal portfólio de cobertura para o chamado acima com maturidade T e acertar K. Precisamente, queremos encontrar pesos de tempo x 1 (t K), x 2 (t K) e x 3 (t K) de tal forma que a carteira resultante de chamadas européias com maturidade T e greves e K 3, respectivamente, cobre as variações de preço da chamada com vencimento T e greve K, até a segunda ordem no subjacente e a volatilidade. Assumindo uma posição bem sucedida e dado que, no mundo das BS, as carteiras de opções simples de baunilha (com a mesma maturidade) que são Vega neutro também são neutras em Gamma, os pesos x 1 (t K), x 2 (t K) E x 3 (t K) podem ser encontrados impondo que o portfólio de replicação tenha o mesmo Vega, dvegadvol (volga) e dvegadspot (vanna) como a chamada com greve K, ou seja, C BS (t K) sigma 2 C BS (t K) 2 sigma 2 C BS sigma S t (t K) BS C xi (t K) sigma (t K i) xi (t K) 2 C BS 2 sigma (t K i) xi (t K) 2 C BS Sigma S t (t K i) (9) Denotando por V (t K) o tempo-t Vega de uma opção européia com (maturidade T e) greve K, V (t K) C BS sigma (t K) S te Rf tau tau (d 1 (t K)) d 1 (t K) ln S t K (rd rf sigma2) tau sigma tau (x) Phi (x) 1 e 1 2 x2 2pi (1) e calculando a segunda ordem Derivados podemos provar o seguinte. 2 C BS V (t K) (t K) d 2 1 (t K) d 2 (t K) sigma sigma 2 C BS V (t K) (t K) sigma S t S t sigma tau d 2 (t K) d 2 (t K) d 1 (t K) sigma tau 4 5 Proposição 3.1. O sistema (9) admite sempre uma solução única, que é dada por x 1 (t K) x 2 (t K) x 3 (t K) V (t K) ln KKV (t) ln V (t K) V (T) V (t K) V (t K 3) ln KK em ln K ln K (11) Em particular, se KK j então xi (t K) 1 para ij e zero, caso contrário. Prova. Veja o apêndice. 4 O preço da opção resultante Agora podemos proceder à definição de um preço de opção consistente com os preços de mercado das opções básicas. Um preço consistente com o sorriso para a chamada com greve K é obtido adicionando ao preço BS o custo de implementar a estratégia de hedge acima aos preços de mercado prevalecentes. Em fórmulas, para t, C (K) C BS (K) xi (K) C MKT (K i) C BS (K i) (12) onde, para aliviar a notação, a dependência do tempo de avaliação t é a seguir Omitido quando zero. 5 O novo preço da opção é, portanto, definido pela adição ao preço plano do sorriso BS a diferença de custo da carteira de hedge induzida pelas volatilidades implícitas do mercado em relação à sigma de volatilidade constante. Os resultados de robustez e consistência para o preço da opção (12) são fornecidos abaixo. Quando K K j, temos claramente C (K j) C MKT (K j), uma vez que x i (K) 1 para i j e zero, caso contrário. Portanto, (12) define nada além de uma regra para interpolação ou extrapolação de preços das três citações de opções C MKT (), C MKT () e C MKT (K 3). Uma curva de volatilidade implícita no mercado pode então ser construída pela inversão (12), para cada K considerado, através da fórmula BS. Um exemplo de tal curva é fornecido na Figura 1, onde traçamos as volatilidades implícitas, tanto contra greves quanto contra Deltas. Usamos os seguintes dados EUR USD a partir de 1 de julho 25: T 3m (94 365y), S 1,25, sigma AT M 9.5, sigma RR .5, sigma VWB .13, que levam a sigma 25 c 8.93, sigma 5 c 9.5 , Sigma 25 p 9,43, K ATM. 5 p e 5 c Veja também Tabelas 1 e 2. 5 Este preço depende do parâmetro de volatilidade sigma. Na prática, a escolha típica é definir sigma sigma AT M. 5 6 Volatility Strike Put delta Figura 1: volatilidades implícitas USD USD traçadas tanto contra greves quanto contra Deltas, onde as três citações básicas do mercado são destacadas. O preço da opção C (K), em função da greve K, satisfaz as seguintes condições (noarbitrage): i) CC 2 ((,)) ii) lim KC (K) S e rf T e lim KC (K) Iii) lim dc K (K) dk e rdt e lim KK dc (K). Dk A segunda e a terceira propriedades, que são trivialmente satisfeitas por C BS (K), seguem do fato de que, para cada i, ambos x i (K) e dx i (K) dK vão para zero para K ou K. Para evitar oportunidades de arbitragem, o preço de opção C (K) também deve ser uma função convexa da greve K, isto é, 2 C d (K) gt para cada K gt. Esta propriedade, que não é verdadeira em geral, 6 mantém, no entanto, para parâmetros de mercado típicos, de modo que (12) leva mesmo a preços que não são arbitrários na prática. 5 Uma aproximação para as volatilidades implícitas A definição acima do preço da opção, combinada com a nossa fórmula analítica (11) para os pesos, permite a derivação de uma aproximação direta para a volatilidade implícita associada a (11). Isso é descrito a seguir. Proposição 5.1. A sigma de volatilidade implícita (k) para a opção acima com o preço C (K) é aproximadamente dada por sigma (k) sigma 1 (K): em KK sigma em 25 p em KK sigma em ATM ln K em K sigma 25 c ( 13) 6 Pode-se realmente encontrar casos em que a desigualdade é violada por algum ataque K. 6 7 verdadeira aproximação de sorriso.11 verdadeira aproximação de sorriso Strike Put Delta Figura 2: volatilidades implícitas em EUR USD e suas aproximações, traçadas tanto contra greves quanto contra Deltas. Prova. Veja o apêndice. A sigma implícita de volatilidade (k) pode assim ser aproximada por uma combinação linear das volatilidades básicas, com os combinadores y i (K) que somam até um (como mostra álgebra tediosa mas direta). Também é facilmente observado que a aproximação é uma função quadrática de ln K, de modo que se pode recorrer a uma interpolação parabólica simples quando as coordenadas do log são usadas. Uma representação gráfica da bondade da aproximação (13) é mostrada na Figura 2, onde usamos os mesmos dados EUR USD como para a Figura 1. A aproximação (13) é extremamente precisa dentro do intervalo, K 3. As asas, no entanto , Tendem a ser sobrevalorizados. De fato, sendo a forma funcional quadrática no logstrike, as condições de não arbitragem derivadas por Lee (24) para o valor assintótico de volatilidades implícitas são aqui violadas. Esta desvantagem é abordada por uma segunda aproximação, mais precisa, que é assintoticamente constante em ataques extremos. Proposição 5.2. A sigma da volatilidade implícita (k) pode ser melhor aproximada da seguinte forma: onde sigma (k) sigma 2 (K): sigma sigma sigma 2 d 1 (K) d 2 (K) (2sigmaD 1 (K) D 2 (K) ) D 1 (K) d 2 (K) D 1 (K): em KK sigma em 25 p em KK sigma em ATM ln K em K sigma 25 c sigma sigma 1 (K) sigma D 2 (K): ln KK Ln d 1 () d 2 () (sigma 25 p sigma) 2 Ln K ln K ln K d 1 (K 3) d 2 (K 3) (sigma 25 c sigma) 2 7, (14) K d ln 1 () D 2 () (sigma sigma ATM) 2 8 .115 aproximação do sorriso verdadeiro.115 aproximação do sorriso verdadeiro Strike Put Deltas Figura 3: volatilidades implícitas USD USD e suas aproximações, traçadas tanto contra greves quanto contra Deltas. E d 1 (x) ln S x (r d r f sigma2) T sigma, d 2 (x) d 1 (x) sigma T, x T Proof. Veja o apêndice. Como podemos ver na Figura 3, a aproximação (14) é extremamente precisa também nas asas. Seu único inconveniente é que ele não pode ser definido devido à presença de um termo de raiz quadrada. O rádio, no entanto, é positivo nas aplicações mais práticas. 6 Um primeiro resultado de consistência para o preço C (K) Agora, apresentamos dois resultados de consistência importantes para o preço da opção (11) e que dão suporte adicional ao procedimento empírico acima. O primeiro resultado é o seguinte. Pode-se imaginar o que acontece se aplicarmos o nosso método de construção de curva ao partir de três outras greves cujos preços associados coincidem com os provenientes da fórmula (12). Claramente, para que nosso procedimento seja robusto, queremos que as duas curvas coincidam exatamente. Na verdade, considere um novo conjunto de ataques H: e denote os pesos anteriores x i (K) por x i (K K) para enfatizar a dependência do conjunto de ataques iniciais. De forma análoga, xi (KH) indicará os pesos para o ataque K que são derivados do novo conjunto de greves H. O preço da opção para cada H i é, por hipótese, igual ao que vem de (12), ou seja, CH (H I) CK (H i) C BS (H i) xj (H i K) C (K j) C BS (K j) (15) j1 8 9 onde os sobrescritos H e K destacam o conjunto de ataques ao procedimento de preços É baseado em. Para uma greve genérica K, o preço da opção associado a H é definido, de forma análoga a (12), por C H (K) C BS (K) x j (K H) C H (H j) C BS (H j). J1 Proposição 6.1. Os preços de chamadas baseados em H coincidem com aqueles baseados em K, ou seja, para cada ataque K, C H (K) C K (K) (16) Prova. Veja o apêndice. 7 Um segundo resultado de consistência para o preço C (K) Um segundo resultado de consistência que pode ser comprovado para o preço da opção (11) diz respeito ao preço de derivados de estilo europeu e sua replicação estática. Para este fim, assumir que h é uma função real que é definida em,), é bem comportada no infinito e é duas vezes diferenciável no sentido das distribuições. Dado o pedido simples com payoff h (s T) no tempo T, denotamos por V seu preço ao tempo, levando em consideração o efeito sorriso. Por Carr e Madan (1998), temos: V e rdt h () S e rf T h () h (x) c (x) dx O mesmo raciocínio adotado anteriormente para a construção da curva de volatilidade implícita pode ser aplicado a O pagamento geral h (s T). Podemos, portanto, construir um portfólio de chamadas européias com maturidade T e greves, e K 3, de modo que o portfólio tenha o mesmo Vega, dvegadvol e dvegadspot como derivado dado. Denotando por V BS o preço de reivindicação sob o modelo Black e Scholes (1973), isso é conseguido encontrando pesos xh 1, xh 2 e xh 3 de forma que V BS sigma 2 V BS 2 sigma 2 V BS sigma S xhixhixhi C BS sigma (K i) 2 C BS 2 sigma (K i) 2 C BS sigma S (K i) que sempre existe única, como já provou na Proposição 3.1. Podemos então definir um novo preço (consistente de sorriso) para nossa derivada como V V BS x h i C (K i) C BS (K i) (17) 9 10 Proposição 7.1. O preço do pedido consistente com os preços da opção C é igual ao preço do pedido obtido ajustando o preço Black e Scholes pela diferença de custo da carteira de hedge ao usar os preços de mercado C (K i) em vez dos preços de volatilidade constante C BS (K i). Na fórmula V V Proof. Veja o apêndice. Esta proposição apresenta um resultado de consistência claro para reivindicações simples (de estilo europeu). De fato, se calcularmos a carteira de hedge para o crédito sob volatilidade plana e adicionar ao preço do sinistro (calculado com o modelo Black e Scholes), a diferença de custo da carteira de hedge (preço de mercado menos preço de volatilidade constante), recuperamos exatamente o Preço de reivindicação obtido através da densidade neutra do risco, implicada nos preços da opção de compra que são consistentes com o sorriso do mercado. Este resultado útil será aplicado na seção a seguir para o caso específico de uma opção quanto. 8 Um exemplo: reside preço consistente de uma opção quanto Uma opção quanto é um derivado que paga no vencimento T o montante omega (s TX) em moeda estrangeira, que é equivalente a Omega (s TX) ST em moeda doméstica, onde omega 1 Para uma ligação e omega 1 para uma colocação. Os argumentos padrão sobre a replicação estática implicam que a chamada e a colocação de preços podem ser escritas em termos de chamada simples de baunilha e colocam os preços da seguinte forma: QCall (T, X) 2 X QPut (T, X) XP (X) 2 C (K) Dk XC (X) XP (K) dk (18) onde P (X) é o preço de colocação com greve X e maturidade T, ou seja, P (X) C (X) S e rf TX e rdt. Verificamos agora, com dados de mercado reais, que os preços das opções quanto (18) são iguais aos preços (17) provenientes de argumentos de hedge. Para este fim, utilizamos os dados do mercado a partir de 1 de julho de 25, conforme relatado nas Tabelas 1 e 2. Nossos cálculos são relatados na Tabela 3, onde os preços de opção quanto são calculados com argumentos de hedge, ou seja, com a fórmula (17), são comparados Com os preços de replicação estática (18) que são obtidos usando 5 e 3 etapas e, respectivamente, um passo de ataque constante de 15 e 25. 7 As diferenças percentuais entre esses preços também são mostradas. 7 As integrais em (18) podem, obviamente, ser calculadas com procedimentos mais eficientes. Aqui, no entanto, só queremos mostrar numericamente a correção do nosso procedimento de tarifação. 1 11 Vencimento do fator de desconto USD fator de desconto EUR 3m: 3 1 y: 3 7 Tabela 1: Dados do mercado a partir de 1º de julho de 25. Delta 3M 1Y 25 Colocar ATM 25 Call Tabela 2: greves e volatilidades correspondentes aos três principais Delta s , A partir de 1 de julho de 25. O objetivo deste exemplo é também mostrar que os preços das opções quanto podem ser derivados, consistentemente com o sorriso do mercado, usando apenas três opções européias e não um contínuo de greves, como implicado por (18) . 9 Robustez do procedimento de preços. Concluímos o artigo motivando o procedimento empírico de preços também em termos dinâmicos. A abordagem aparentemente arbitrária da redução de derivativos parciais dos preços BS até a segunda ordem pode ser justificada pelo fato de que o modelo BS ainda é uma referência na avaliação de um livro de opções. Existem várias razões para esse fato, além do histórico óbvio: i) facilidade de implementação ii) significado claro e intuitivo dos parâmetros do modelo iii) sensibilidades prontamente disponíveis e iv) possibilidade de fórmulas explícitas para a maioria dos retornos. Nenhum outro modelo possui todas essas características ao mesmo tempo. 8 Na verdade, não é uma prática estranha executar um livro de opções FX reavaliando e protegendo-o de acordo com um modelo de BS de sorriso plano, embora a volatilidade do ATM seja continuamente atualizada para o nível do mercado comercial. 9 Agora provamos que, se as opções européias são todas valorizadas com a mesma volatilidade implícita (estocástica) (digamos a volatilidade do ATM), as mudanças de valor do portfólio de hedge seguem localmente as da chamada dada. Para este fim, consideramos um tempo genérico t e assumimos dinâmicas de tipo Ito para a sigma da sigma da volatilidade. Nós temos assim, por Ito s lemma, dc BS (t K) C BS (t K) dt C BS (t K) ds t C BS (t K) dsigma tt S sigma C BS (t K) (ds 2 S 2) (19) C BS (t K) (dsigma 2 sigma 2 t) C BS (t K) ds t dsigma t S sigma 8 Uma possível exceção é o modelo de parâmetro incerto de Brigo, Mercurio e Rapisarda (24) . 9 Continuamente normalmente significa uma atualização diária ou ligeiramente mais freqüente. 11 12 Strike Expiry 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Argumentos de cobertura Chamada Pôr replicação estática (5 etapas) Chamada Pct Diff Pt Pct Diff Replicação estática (3 etapas) Chamada Pct Diff Pt Pct Diff Tabela 3: Comparação dos preços da opção quanto obtidos através de fórmulas ( 17) e (18). Supondo também uma posição de cobertura e que as batidas K i são as derivadas no tempo inicial, obtemos imediatamente dc BS (t K) C BS (t K) xi (t K) dc BS (t K i) t C BS (T K) sigma 1 2 C BS (t K) 2 S 2 C BS (t K) 2 sigma 2 2 C BS (t K) S sigma xi (t K) C BS (t K i) dt txi (t K) C BS (t K i) sigma dsigma txi (t K) 2 C BS (t K i) S 2 xi (t K) 2 C BS (t K i) sigma 2 xi (t K) 2 C BS ( T k i) S sigma (ds t) 2 (dsigma t) 2 ds t dsigma t O segundo, quarto e quinto termo no RHS de (2) são zero por definição dos pesos xi, enquanto o terceiro é zero devido a A relação que liga as opções Gamma e Vega no mundo BS. Pelo mesmo motivo, e lembrando que cada opção é cortada, nós também (2) 12 13 têm para que C BS (t K) t dc BS (t K) xi (t K) C BS (t K i) Trd C BS (t K) xi (t K) dc BS (t K i) r C d BS (t K) xi (t K) C BS (t K i) (21) xi (t K) C BS ( T K i) dt (22) A expressão no RHS desta equação é conhecida no tempo t. Portanto, o portfólio feito de uma posição longa na chamada com greve K e três posições curtas em chamadas x i (t K) com greve K i é localmente sem risco no tempo t, na medida em que nenhum termo estocástico está envolvido em seu diferencial. Como é bem sabido, no paradigma de BS, o chamado com ações de K e curto C BS S do ativo subjacente é equivalente a manter um portfólio local sem risco. Quando a volatilidade é estocástica, e as opções ainda são avaliadas com a fórmula BS, ainda podemos ter uma cobertura (localmente) perfeita, desde que possamos conter quantidades adequadas de três opções diferentes. Pode-se imaginar por que precisamos de três opções para descartar a incerteza devido a uma volatilidade estocástica, e não apenas uma como normalmente acontece ao introduzir uma outra fonte de aleatoriedade (unidimensional). A razão é dupla. Primeiro, não estamos usando um modelo consistente, mas simplesmente um procedimento de avaliação. Na verdade, nenhum modelo de volatilidade estocástica de difusão bidimensional pode produzir sorrisos planos para todos os prazos. Em segundo lugar, não estamos assumindo dinâmicas específicas para o subjacente e a volatilidade, mas apenas uma difusão geral. As três opções, de fato, também são necessárias para excluir o modelo de risco, uma vez que a nossa estratégia de cobertura é derivada independentemente da verdadeira dinâmica de ativos e volatilidade (sob a hipótese de nenhum salto). 1 Conclusões Descrevemos um procedimento empírico de mercado para construir curvas de volatilidade implícitas no mercado FX. Vimos que a construção do sorriso leva a uma fórmula de preços para qualquer reivindicação contingente de estilo europeu. Em seguida, comprovamos os resultados de consistência com base na replicação estática e em argumentos de hedge. O procedimento de construção do sorriso e a fórmula de preços relacionada são bastante gerais. Na verdade, mesmo que tenham sido desenvolvidos para opções de FX, eles podem ser aplicados em qualquer mercado onde três cotações de volatilidade estejam disponíveis para uma determinada maturidade. Uma última questão não resolvida diz respeito à avaliação de opções exóticas por meio de alguma generalização do procedimento empírico que ilustramos neste artigo. Trata-se, em geral, de uma questão bastante complexa a tratar, considerando também que as atuais volatilidades implícitas contêm apenas informações sobre densidades marginais, o que, evidentemente, não é suficiente para avaliar os derivados dependentes do caminho. Para reivindicações exóticas, os procedimentos ad hoc são geralmente empregados. 13 14 Por exemplo, os preços das opções de barreira podem ser obtidos pesando a diferença de custo da estratégia de replicação pela probabilidade (neutra ao risco) de não cruzar a barreira antes da maturidade. No entanto, não só esses ajustes são mais difíceis de justificar teoricamente do que aqueles no caso simples de baunilha, mas, do ponto de vista prático, eles podem até ter um sinal oposto em relação ao implícito nos preços de mercado. Apêndice A: as provas Prova da Proposição 3.1. Escrevendo o sistema (9) na forma x 1 (t K) A x 2 (t K) B, x 3 (t K) a álgebra direta leva a det (a) V (t) V (t) V (t K 3) S sigma 2 d2 (t K 3) d 1 (t) d 2 (t) d 2 (t) d 1 (t K 3) d 2 (t K 3) T d 1 (t) d 2 (t ) D 2 (t K 3) d 1 (t K 3) d 2 (t K 3) d 2 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 ( T) d 2 (t) V (t) V (t) V (t K 3) S sigma 5 T 2 ln (23) que é estritamente positivo desde lt K 3. Portanto, (9) admite uma solução única e (11) segue da regra de Cramer. Prova da Proposição 5.1. Na primeira ordem no sigma, um tem sigma C (K) C (K) xi (K) V (K i) sigma (ki) sigma, que, lembrando (11) e o fato de que 3 xi (k) v (ki ) V (K), leva a C (K) C BS (K) V (K) yi (K) sigma (K i) sigma, onde y 1 (K) ln KK ln y 2 (K) ln KK ln y 3 (K) ln K ln K 14 15 Em seguida, (13) segue do Sigma (K) sigma (K) sigma da ordem de Taylor de primeira ordem (K) C BS (K) V (K) sigma. Prova da Proposição 5.2. Na segunda ordem em sigma, um tem C (K) C BS (K) Analogamente, para que possamos escrever xi (K) V (K i) (sigma (ki) sigma) C BS 2 2 sigma (K i) ( Sigma (ki) sigma) 2. C (K) C BS (K) V (K) (sigma (K) sigma) C BS (K) (sigma (K) 2 sigma) 2 sigma V (K) (sigma K) sigma (K) sigma (k) sigma (k) sigma (ki) sigma (ki) sigma (ki) sigma (ki) sigma) Sigma) 2 Resolvendo esta equação algebraica de segundo orden em sigma (k), então, leva a (14). Prova da Proposição 6.1. A igualdade (16) é válida se e somente se. Xj (KH) CH (H j) C BS (H j) j1 xi (KK) C (K i) C BS (K i) Usando (15) e rearranjando termos, o lado esquerdo pode ser escrito como xj (KH ) CH (H j) C BS (H j) j1 xj (KH) xi (H j K) C (K i) C BS (K i) j1 xj (KH) xi (H j K) C (K i) C BS (K i) j1 que é igual ao lado direito da igualdade acima, uma vez que, para cada acerto K e j 1, 2, 3, xi (KK) xj (KH) xi (H j K) (24) j1 seguindo De uma aplicação tediosa, mas direta, da fórmula (11) para os pesos. 15 16 Prova da Proposição 7.1. Para cada operador L, temos LV BS L e rdt h () S e rf T h () h (K) C BS (K) dk h (K) LC BS (K) dk que, por definição dos pesos xi ( K), torna-se LV BS h (K) xi (K) LC BS (K i) dk h (K) xi (K) LC BS (K i) dk h (K) xi (K) dk LC BS (K i ) Pela singularidade dos pesos xhi, temos assim xhi Substituindo em (17), obtemos VV BS V BS V BS h (K) h (K) xi (K) dk, i 1, 2, 3 h (K) Xi (K) dk C (K i) C BS (K i) xi (K) C (K i) C BS (K i) dk V BS VV BS V h (K) C (K) C BS (K) Dk 11 Apêndice B: a densidade implícita de risco neutro O preço VV (12) é definido sem apresentar pressupostos específicos sobre a distribuição do ativo subjacente. No entanto, o conhecimento dos preços das opções para cada possível ataque determina implicitamente uma densidade neutra de risco única que é consistente com eles. De fato, 16 17 8 7 Vanna Volga BampS Figura 4: densidade neutra de risco Vanna-Volga em comparação com o lognormal que vem do modelo BS com volatilidade ATM. Pelo resultado geral de Breeden e Litzenberger (1978), a densidade de risco neutro pT da taxa de câmbio ST pode ser obtida diferenciando o dobro do preço da opção (12): p T (K) e rd T 2 C (K) Erd T 2 C BS (K) erd T i 2 xi (K) C MKT (K i) C BS (K i). (25) O primeiro termo no RHS é a densidade lognormal p BS T associada ao movimento geométrico Browniano com taxa de deriva r d r f e sigma de volatilidade. O segundo termo, que é o desvio da anormalidade do sistema induzido pelo sorriso VV, é mais envolvido e pode ser calculado diferenciando o dobro do peso (11). Nós obtemos: 2 x 1 K (K) 2 2 x 3 K (K) 2 V (K) sigma 2 TV () ln 2sigma T d 1 (K) ln K 3 V (K) sigma 2 TV (K 3) 2sigma T d 1 (K) ln (d1 (K) 2 sigma T d 1 (K) 1) ln (sigma 2 T ln K) 2K K 2 (d1 (K) 2 sigma T d 1 (K) 1) ln (Sigma 2 T ln K) 1K KKK Em KA, a parcela da densidade de risco neutro associada a (12) é mostrada na Figura 4, onde é comparada com a densidade lognormal normal p BS T. 17 18 Referências 1 Preto, F. E Scholes, M. (1973) O preço das opções e passivos corporativos. Journal of Political Economy 81, 2 Breeden, D. T. e Litzenberger, R. H. (1978) Preços dos créditos contábeis estatais implícitos nos preços das opções. Journal of Business 51, 3 Brigo, D. Mercurio, F. e Rapisarda, F. (24) Sorriso na incerteza. Risco 17 (5), 4 Carr, P. P. E Madan, D. B. (1998) Rumo a uma teoria da negociação de volatilidade. Em VOLATILITY eds. R. A. Jarrow Risk Books 5 Lee, R. W. (24) A fórmula do momento para volatilidade implícita em ataques extremos. Quotas de Matemática Finanças 14 (3), Preço consistente de Quotas de FX) e volga (P 2 2) da barreira Black-Scholes preço (P) com volatilidade no dinheiro. Foi justificado (ver 3) que este modelo fornece resultados precisos para opções que não dependem do caminho (por exemplo, opções quanto). Quot Mostrar resumo Ocultar resumo RESUMO: Este artigo apresenta uma medida de risco de modelo relativo de um produto com um modelo determinado, em relação a outro modelo de referência para o qual o mercado é assumido como sendo conduzido. Esta medida permite comparar produtos avaliados com diferentes modelos (hipótese de preços) sob uma estrutura homogênea que permite concluir qual modelo é o mais próximo da referência. A medida do risco do modelo relativo é definida como o déficit esperado da estratégia de hedge em um determinado horizonte de tempo para um nível de significância escolhido. O modelo de referência foi escolhido para ser Heston calibrado para o mercado para um determinado horizonte de tempo (este modelo de referência deve ser escolhido para ser um proxy de mercado). O método é aplicado para estimar e comparar esta medida de risco de modelo relativo nos modelos de volga-vanna e Black-Scholes para opções de duplo-sem toque e um portfólio de opções de fader forward. Texto completo Artigo fev 2011 Alberto Elices Eduard Gimnez Em casos de FX, em vez de pivôs adicionais, podem ser utilizadas citações adicionais de pares OTC BF RR para valores menos padrão de 25 (mas lt 50). Pivots pode ser recalculado na forma como é feito para 25, ver 4. quot Mostrar resumo Ocultar resumo RESUMO: Damos um tratamento geral da correção de sorriso de volatilidade mark-to-market Vanna-Volga na aplicação ao preço de contratos com exercício europeu Em um único subjacente. O método continua a ser aplicável em casos de expiações atrasadas ou desalinhadas e dividendos absolutos. Também é aplicado a casos de volatilidade instantânea dependente do tempo, múltiplos ativos subjacentes e taxas de juros aleatórias. Nós também oferecemos o cálculo da volatilidade subjacente dos dados do mercado e a correção mais valiosa usando mais de três opções negociadas. Artigo Jun 2009 Yuriy Shkolnikov quotIn 2. Castagna e Mercurio apontam duas quot consistência quot características do vanna-volga ajuste quando uma volatilidade de referência é usado. A primeira característica de consistência é para o sorriso implícito de volatilidade implícito no ATM e 25 delta RR e BF. Resumo O resumo do resumo RESUMO: O método de Vanna-Volga foi popularizado como uma forma de avaliar opções de baunilha e exóticas, dado uma quantidade muito limitada de dados de mercado. A aplicação melhorada do método é para opções de baunilha, embora, é claro, o interesse real na abordagem reside na sua eficácia na produção de estimativas razoáveis ​​dos preços de mercado dos exóticos de primeira geração. Neste artigo abordamos a questão de como o método Vanna-Volga deve ser estendido de um método para preço de opções de baunilha para um método para preço exotics. Exploramos diferentes pontos de vista, que fornecem explicações alternativas para a eficácia dos métodos. Eventualmente, descrevemos a abordagem que foi tomada para fornecer preços através da função Bloombergs OVML. Esta é uma versão ajustada, diferindo no tratamento de exóticos das abordagens padrão ou modificadas descritas em 1. Artigo de texto completo janeiro de 2007 SSRN Electronic Journal Travis Fisher